1-1. Vector Spaces

Vector Spaces

정의.
$V$ : a vector space over $\mathbb{F}$ where

• addition + : $V$ x $V \to V$ $(x, y) \mapsto x+y$

• 상수배: $\mathbb{F} \times V \to V, f(a, v) := av$

  It satisfies
  $\forall \; x, y, z \in V, \forall \; a, b, c, \in \mathbb{F}$

  1. $x + y = y + x$ (교환법칙)
  2. $(x+y)+z = x+(y+z)$ (결합법칙)
  3. $\exists 0 \in V \text{ such that } x + 0 = x$ (항등원)
  4. $\forall x\in V \; \exists y \in V \text{ such that } x+y=0$ (역원)
     for vector addition, and
  5. $1x = x$
  6. $(ab)x = a(bx)$ (상수끼리의 곱과 벡터의 상수배가 서로 영향을 주지 않는다.)
  7. $a(x+y) = ax + by$ (상수곱과 덧셈이 서로 영향을 주지 않는다.)
  8. $(a+b)x = ax + bx$
     for scalar multiplication

Vector space임을 보이려면 위의 8가지 조건이 hold하는지 아닌지를 판단해야합니다.
왜 프리드버그 책에서 위의 8개의 조건을 모두 증명에 넣지 않고 덧셈과 스칼라배만 vector space 내에서 정의되는지만 확인하는 이유는
여기 의 답변이 도움이 되었습니다.

Vector space는 vector만이 아닌, field, addition, scalar multiplication의 quadraple이며 vecotr space를 다룰 때 항상 같이 논의되어야합니다.

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Thm. 1.1 (Cancellation Law)
${x+y=y+z}$ ( ${x, y, z, \in V}$)
${\to x = y }$

proof idea) ${z}$에 더해서 항등원(0)이 되는 벡터 ${v}$를 잡고, 결합법칙을 이용하면 된다.

Coro. 1
${ \mathbf{0}}$ is unique.

proof idea) 영벡터의 성질을 만족하는 두 영벡터를 가정하고, 두 영벡터가 위의 정리에 의해 같음을 보인다.

Coro. 2
${\forall \; x \in V}$, ${ !\exists y \in V \text{ such that } x+y=0 }$

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Thm. 1.2
${V}$ , a vector space over ${\mathbb{R}}$ (or, ${\mathbb{C}}$)

(a) ${0x=\mathbf{0}}$
(b) (-a)${x}$ = -(${ax}$)=a(${-x}$)
(c) ${a\mathbf{0}=\mathbf{0}}$

proof)
(a) ${0x + 0x = (0+0)x = 0x + \mathbf{0}}$
(b) ${ax+(-a)x = (a+(-a))x = 0x = \mathbf{0}}$
(c) ${a \mathbf{0} + a \mathbf{0} = a(\mathbf{0}+\mathbf{0}) = a\mathbf{0} + \mathbf{0}}$ (similar with (a))